充分条件与必要条件

概要：，也就是说，如果 成立，那么 一定成立．换句话说，只要有条件 就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件 是 成立的充分条件，记作 ．2．讲授新课（板书充分条件的定义．）一般地，如果已知 ，那么我们就说 是 成立的充分条件．提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．（学生口答）（1）“ ，”是“ ”成立的充分条件；（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；（3）“方程 的有两个不等的实数解”是“ ”成立的充分条件．从另一个角度看，如果 成立，那么其逆否命题 也成立，即如果没有 ，也就没有 ，亦即 是 成立的必须要有的条件，也就是必要条件．（板书必要条件的定义．）提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．（学生口答）．（1）因为 ，所以 是 的充分条件， 是 的必要条件；（2）因为 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件；（3）因为“两三角形全等” “两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”

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，也就是说，如果 成立，那么 一定成立．换句话说，只要有条件 就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件 是 成立的充分条件，记作 ．

　　2．讲授新课

　　（板书充分条件的定义．）

　　一般地，如果已知 ，那么我们就说 是 成立的充分条件．

　　提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．

（学生口答）

　　（1）“ ，”是“ ”成立的充分条件；

　　（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；

　　（3）“方程 的有两个不等的实数解”是“ ”成立的充分条件．

　　从另一个角度看，如果 成立，那么其逆否命题 也成立，即如果没有 ，也就没有 ，亦即 是 成立的必须要有的条件，也就是必要条件．

（板书必要条件的定义．）

　　提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．

（学生口答）．

　　（1）因为 ，所以 是 的充分条件， 是 的必要条件；

　　（2）因为 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件；

　　（3）因为“两三角形全等” “两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；

　　（4）因为“四边形的对角线互相垂直” “四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；

　　（5）因为 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件；

　　（6）因为“方程 的有两个不等的实根” “ ”，而且“方程 的有两个不等的实根” “ ”，所以“方程 的有两个不等的实根”是“ ”充分条件，而且是必要条件．

　　总结：如果 是 的充分条件， 又是 的必要条件，则称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ．

（板书充要条件的定义．）

3．巩固新课

　　例1  （用投影仪投影．）

B

A是B的什么条件

B是 的什么条件

是有理数

是实数

   

   

、 是奇数

是偶数

   

   

   

   

   

是4的倍数

是6的倍数

   

（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）

　　①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；

　　② 一定能推出 ，而 不一定推出 ，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；

　　③ 、 是奇数，那么 一定是偶数； 是偶数， 、 不一定都是奇数（可能都为偶数），所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；

　　④ 表示 或 ，所以 是 成立的必要非充分条件；

　　⑤由交集的定义可知 且 是 成立的充要条件；

　　⑥由 知 且 ，所以 是 成立的充分非必要条件；

　　⑦由 知 或 ，所以 是

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