§9—1简谐运动

概要：例题、在弹簧下端悬挂一个重物，弹簧的劲度为k，重物的质量为m。重物在平衡位置时，弹簧的弹力与重力平衡，重物停在平衡位置，让重物在竖直方向上离开平衡位置，放开手，重物以平衡位置为中心上下振动，请分析说明是否为简谐振动，振动的周期与何因素有关？ 解析：当重物在平衡位置时，假设弹簧此时伸长了x0， 根据胡克定律：F = k x 由平衡关系得：mg = k x0（1） 确定平衡位置为位移的起点，当重物振动到任意位置时，此时弹簧的形变量x也是重物该时刻的位移，此时弹力F1 = kx 由受力分析，根据牛顿第二定律F = Ma 得：F1 – mg = ma （2） 由振动过程中回复力概念得：F回 = F1 – mg （3） 联立（1）、（3）得：F回 = kx - k x0 = k （x - x0） 由此可得振动过程所受回复力是线性回复力即回复力大小与重物运动位移大小成正比，其方向相反，所以是简谐振动。 由（2）得： a = - （x - x0）， 结合圆周运动投影关系式： a = - ω2（x - x0）得：ω2= 由 ω =

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例题、在弹簧下端悬挂一个重物，弹簧的劲度为k，重物的质量为m。重物在平衡位置时，弹簧的弹力与重力平衡，重物停在平衡位置，让重物在竖直方向上离开平衡位置，放开手，重物以平衡位置为中心上下振动，请分析说明是否为简谐振动，振动的周期与何因素有关？ 
解析：当重物在平衡位置时，假设弹簧此时伸长了x0， 
          根据胡克定律：F = k x  由平衡关系得：mg = k x0（1） 
      确定平衡位置为位移的起点，当重物振动到任意位置时，此时弹簧的形变量x也是重物该时刻的位移，此时弹力F1 = kx  
由受力分析，根据牛顿第二定律F = Ma 得：F1 – mg = ma  （2） 
由振动过程中回复力概念得：F回 = F1 – mg   （3） 
联立（1）、（3）得：F回 = kx - k x0 = k （x -  x0） 
由此可得振动过程所受回复力是线性回复力即回复力大小与重物运动位移大小成正比，其方向相反，所以是简谐振动。 
由（2）得： a = - （x -  x0）， 
结合圆周运动投影关系式： a = - ω2（x -  x0）得：ω2=  
由 ω = π  得：T = 2π  此式说明该振动过程的周期只与重物质量的平方根成正比、跟弹簧的劲度的平方根成反比，跟振动幅度无关。 
同步练习： 
 用密度计测量液体的密度，密度计竖直地浮在液体中。如果用手轻轻向下压密度计后，放开手，它将沿竖直方向上下振动起来。试讨论密度计的振动是简谐振动吗？其振动的周期与哪些因素有关？ 
（3）       简谐振动方程推导与应用 
  例题：做简谐振动的小球，速度的最大值vm=0.1m/s，振幅A= 0.2m。若从小球具有正方向的速度最大值开始计时，求：（1）振动的周期 （2）加速度的最大值（3）振动的表达式 
解：根据简谐振动过程机械能守恒得: KA2 =   mVm2  
 = Vm2/ A2 = 0.25由T = 2π  = 4π 
a = - A =0.05(m/s2)  由 ω = π  =0.5 由t=0,速度最大,位移为0则 
Acosφ =0   v =-ω Asinφ  则φ = -π/2    即有x =0.2cos(0.5t – 0.5π)

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