从梯子的倾斜程度谈起教案2

概要： 解:在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200. sinA=0.6,即 =0.6,BC=AC×0.6=200×0.6=120. 思考:(1)cosA=? (2)sinC=? cosC=? (3)由上面计算,你能猜想出什么结论? 解:根据勾股定理,得 AB= =160. 在Rt△ABC中,CB=90°. cosA= =0.8, sinC= =0.8, cosC= =0.6. 由上面的计算可知 sinA=cosC=0.6, cosA=sinC=0.8. 因为∠A+∠C=90°,所以,结论为"一个锐角的正弦等于它余角的余弦""一个锐角的余弦等于它余角的正弦". [例2]做一做: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA= ,AC=10,AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.

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    解:在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200.
    sinA=0.6,即 =0.6,BC=AC×0.6=200×0.6=120.
    思考:(1)cosA=?
    (2)sinC=?  cosC=?
    (3)由上面计算,你能猜想出什么结论?
    解:根据勾股定理,得
    AB= =160.
    在Rt△ABC中,CB=90°.
    cosA= =0.8,
    sinC= =0.8,
    cosC= =0.6.
    由上面的计算可知
    sinA=cosC=0.6,
    cosA=sinC=0.8.
    因为∠A+∠C=90°,所以,结论为"一个锐角的正弦等于它余角的余弦""一个锐角的余弦等于它余角的正弦".
    [例2]做一做:
    如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA= ,AC=10,AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.
    分析:这是正弦、余弦定义的进一步应用,同时进一步渗透sin(90°-A)=cosA,cos(90°-A)=sinA.
    解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,cosA= ,cosA= ,
    ∴AB= =10× ,
    sinB= =cosA= .
    根据勾股定理,得
    BC2=AB2-AC2=( )2-102=
    ∴BC= .
    ∴cosB= ,
    sinA= .
    可以得出同例1一样的结论.
    ∵∠A+∠B=90°,
    ∴sinA=cosB=cos(90°-A),即sinA=cos(90°-A);
    cosA=sinB=sin(90°-A),即cosA=sin(90°-A).
    Ⅲ.随堂练习
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    1.在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BC=6,求sinB,cosB,tanB.
    分析:要求sinB,cosB,tanB,先要构造∠B所在的直角三角形.根据等腰三角形"三线合一"的性质,可过A作AD⊥BC,D为垂足.
    解:过A作AD⊥BC,D为垂足.
    ∵AB=AC,∴BD=DC= BC=3.
    在Rt△ABD中,AB=5,BD=3,
    ∴AD=4.
    sinB= ,cosB= ,
    tanB= .
    2.在△ABC中,∠C=90°,sinA= ,BC=20,求△ABC的周长和面积.
    解:sinA= ,∵sinA= ,BC=20,
    ∴AB= =25.
    在Rt△ABC中,AC= =15,
    ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=25+15+20=60,
    △ABC的面积= AC×BC= ×15×20=150.
    3.(2003年陕西)(补充练习)在△ABC中,∠C=90°,若tanA=,则sinA=________.
    解:如图,tanA= .
    设BC=x,AC=2x,根据勾股定理,得AB= .
    ∴sinA= .
    Ⅳ.课时小结
    本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念,用函数的观念认识了三种三角函数,即在锐角A的三角函数概念中,∠A是自变量,其取值范围是0°<∠A<90°;三个比值是因变量.当∠A确定时,三个比值分别唯一确定;当∠A变化时,三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容,我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题.
    Ⅴ.课后作业
    习题1、2第1、2、3、4题
    Ⅵ.活动与探究
    已知:如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,求证:BC2=AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
    [过程]根据正弦和余弦的定义,在不同的直角三角形中,只要角度相同,其正弦值(或余弦值)就相等,不必只局限于某一个直角三角形中,在Rt△ABC中,CD⊥AB,所以图中含有三个直角三角形.例如∠B既在Rt△BDC中,又在Rt△ABC中,涉及线段BC、BD、AB,由正弦、余弦的定义得cosB= ,cosB= .
    [结果]在Rt△ABC中,cosB= .
    又∵CD⊥AB.
    ∴在Rt△CDB中,cosB= .
    ∴ ,BC2=AB·BD.
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    §1.1.2  从梯子倾斜程度谈起(二)
    1.正弦、余弦的定义
    在Rt△ABC中,如果锐角A确定,sinA=
    cosA=
    2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗?sinA的值越大,梯子越陡cosA的值越小,梯子越陡
    3.例题讲解
 

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