《生活中的平面图形》

概要：[众生]可以。[师]很好！ΔABC和ΔBCA，都是指同一个三角形，也就是这个三角形。就好比这本书，我们叫它作“书”，美国人叫它“book”。[师]现在，请同学们给你刚才所画的这个四边形的四个顶点依次标上字母A、B、C、D。请注意：字母要大写，要按照顺序依次书写。[师]现在，请看这个四边形，它有四个顶点A、B、C、D，我们任意选择其中一个顶点，选哪一个？[生]A好了。[师]好！我们选择顶点A。现在，我们把顶点A和其它三个顶点分别连结起来，得到三条线段AB、AC和AD。在这三条线段中，AB和AD原来就是这个四边形的两条边，而线段AC则是新增加的，我把它用虚线来表示（图5）。我们把新增加的这条线段AC，称为这个四边形的一条对角线。请同学们观察一下，在增加了这条对角线以后，图形有什么变化？[生]变成两个三角形了。[师]很好！四边形的一条对角线将这个四边形分割成了两个三角形。现在，请大家看自己刚才所画的这个五边形，请选择其中一个顶点，请你画出从这个顶点出发的所有对角线。[师]从五边形的一个顶点出发，一共有几条对角线？[生]2条。[师]这2条对角线把这个五边形分割成几个三角形？

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[众生]可以。
[师]很好！ΔABC和ΔBCA，都是指同一个三角形，也就是这个三角形。就好比这本书，我们叫它作“书”，美国人叫它“book”。
[师]现在，请同学们给你刚才所画的这个四边形的四个顶点依次标上字母A、B、C、D。请注意：字母要大写，要按照顺序依次书写。
[师]现在，请看这个四边形，它有四个顶点A、B、C、D，我们任意选择其中一个顶点，选哪一个？
[生]A好了。
[师]好！我们选择顶点A。现在，我们把顶点A和其它三个顶点分别连结起来，得到三条线段AB、AC和AD。
在这三条线段中，AB和AD原来就是这个四边形的两条边，而线段AC则是新增加的，我把它用虚线来表示（图5）。
我们把新增加的这条线段AC，称为这个四边形的一条对角线。
请同学们观察一下，在增加了这条对角线以后，图形有什么变化？
[生]变成两个三角形了。
[师]很好！四边形的一条对角线将这个四边形分割成了两个三角形。
现在，请大家看自己刚才所画的这个五边形，
请选择其中一个顶点，
请你画出从这个顶点出发的所有对角线。
[师]从五边形的一个顶点出发，一共有几条对角线？
[生]2条。
[师]这2条对角线把这个五边形分割成几个三角形？
[生]3个。
[师]那么在六边形中，从一个顶点出发应该有几条对角线？
[生]应该有3条。
[师]如果是3条对角线，应该把这个六边形分割成几个三角形？
[生]4个。
[师]请验证你的猜测。
[师]画好了吗？我们刚才猜得对不对？
[生]对的。
[师]请看黑板（画出图6）。
我们来看一下：从四边形的一个顶点出发，有1条对角线，把这个四边形分割成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，有2条对角线，把这个五边形分割成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，有3条对角线，把这个六边形分割成4个三角形。这其中是不是可能存在着某种规律？（列出表1）
表1 对角线 三角形
四边形 1 2
五边形 2 3
六边形 3 4
[生]三角形比对角线多1个。
[师]是这样吗？
[生]是的。
[师]那么能不能对七边形的情况作个验证？
[生]（活动）
[生]（非常兴奋地）对的。
[师]我们是否可以作如此猜想：对于任意一个多边形，从其中一个顶点出发所得到的所有对角线，将这个多边形分割成三角形的数目，总比从这个顶点出发所得到的对角线的数目要多1个？
[生]是的！
[师]那么照这样推测的话，一个 边形，它有 条边和 个顶点。
[生] 是什么？
[师] 是什么？它表示某一个多边形的边数。如果这个多边形是四边形，那么这个 它就是4；如果这个多边形是100边形，那么这个 就是100。
现在，我们先选择这个 边形的一个顶点，如果从这个顶点出发的对角线恰好有 条，那么被分割成的三角形应该有多少？
[生] 个。
[师]确定吗？
[生]确定！
[师]同学们确实非常聪明！
（将表1改写成表2）
边数 对角线 三角形
4 1 2
5 2 3
6 3 4
… … …


[师]你知道吗？同学们刚才所使用的这种推理的方法，是在科学研究中非常有用的一种方法，叫做“归纳法”。
有许多科学发现，就是科学家们从有限的、特殊的事例中分析总结出它们共同的规律或特点，得出某个结论，再用这个结论去指导后面的研究，从而获得了许多发现。
当然，用这种方法所获得的结论有时候也可能会出错。由于结论是从特殊的、有限的事例中总结出来的，因此有时候它不一定能适合所有的情况。所以，对于用这种方法所得到的结论的正确性，往往还需要我们去证明。
[师]现在请同学们看这里。
我们来看一看这张表：
在四边形中，有1条对角线，2个三角形；五边形中，有2条对角线，3个三角形，等等，现在我们要研究的问题就是：是不是对所有的多边形都是这样？还是只对部分多边形才是这样？一个多边形，如果从一个顶点出发的对角线有 条，那么被分割成三角形的个数是不是一定比 多1个，也就是 个呢？怎么说明这一点呢？
[生]……
[生]一根棒头，折一下，变成两段；再折一下，又多出一段；以后每折一下就多出一段，所以这里也是一样的。
[师]不折呢？
[生]1段。
[师]以后每次折一下，是不是只能折其中的某一段？能不能两段同时折？
[生]不能。
[师]那么原来是一段，每折一次总数只能增加1，折了几次就增加了几段，所以被折成小棒头的数目是不是总比折的次数要多1？
[生]是的！
[师]那么回到我们的多边形中来，怎么解决？
[生]用刀切。
[师]对！沿着对角线用刀切。不切的时候有几块？
[生] 1块。
[师]每切1刀？
[生]多出1块。
[师]现在这个多边形一共有几条对角线？ 
[生] 条。
[师]也就是一共切了 刀是吧？是不是在原来1的基础上增加了 块？那么一共就有？ 
[生] 个三角形。
[师]也就是说：任何一个多边形，从一个顶点出发的对角线有几条，那么被分割成三角形的数目一定比它…
[生]多1个
[师]OK！鼓鼓掌！
[生]（鼓掌）
[师]这位同学，从线的情况推广到面的情况，从而解决了我们的问题，其想法非常巧妙！让我们再次为他的聪明才智鼓掌！
[生]（鼓掌）
[师]好！刚才我们解决了一个难题，证明了多边形中，从一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成三角形的个数一定比对角线的条数要多1个。
[师]对于一个n边形来说，它从一个顶点出发的对角线有多少我们并不知道。我们这里的 只是一个假设，从四边形、五边形和六边形的情况来看，这个结论似乎是正确的。就是说：任意一个多边形，从它的一个顶点发出的对角线的数目比它的边数少3。
有没有同学能够再次来证明一下？
[生]……
[师]看一看，想一想。
[生]是的。
[师]哦？说说看？
[生]几边形么就有几个顶点，它自己就已经有一个了，那么就少了一个；它旁边还有两条本来就是边，这样就又少了2条，一共少了3条。所以…（声音轻下去了）
[师]是不是这样？来来来，请你把刚才的话再说一遍好不好？有几个同学没听明白。
[生]哦~呜~~我说不来的。
[师]说不来的啊？刚才说得蛮好么！来！你胆子大一点好了，不要紧的！

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