数学教案－直线的倾斜角和斜率

概要： 也可以看作是二元一次方程 ，这样满足一次函数 的每一对 ， 的值“变成了”二元一次方程 的解，使方程和直线建立了联系．定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．以上定义改用集合表述： ， 的二元一次方程的解为坐标的集合，记作 ．若（1） （2） ，则 ．问：你能用充要条件叙述吗？答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．（二）直线的倾斜角【问题1】请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．过定点，方向不同．如何确定一条直线？ 两点确定一条直线．还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．【导入】今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．【问题2】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．学生：展

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  也可以看作是二元一次方程  ，这样满足一次函数  的每一对 ， 的值“变成了”二元一次方程  的解，使方程和直线建立了联系．

　　定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．

　　以上定义改用集合表述： ， 的二元一次方程的解为坐标的集合，记作 ．若（1） （2） ，则 ．

　　问：你能用充要条件叙述吗？

　　答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．

（二）直线的倾斜角

【问题1】

　　请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．



　　过定点，方向不同．

　　如何确定一条直线？

 　　两点确定一条直线．
　　还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？
学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．

【导入】

　　今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．

【问题2】
　　在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．
　　学生：展开讨论．
　　学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．
　　通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．
【板书】

　　定义：一条直线l向上的方向与 轴的正方向所成的最小正角叫做直线 的倾斜角．

　　（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2） 轴的正方向，（3）最小正角．）

　　特别地，当 与 轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．
　　由此定义，角的范围如何？
　　0°≤α＜180°或0≤α＜π   如图3

 

　　至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．

（三）直线的斜率

【问题3】
　　下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：
直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？

　　学生：在练习本上画出直线，写出方程．
　　 30° ß--à ＝ 

　　45° ß--à  ＝

　　135°ß--à ＝

　　（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）

【演示动画】

　　观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中 系数变化的关系

　　(1)  直线变化→α变化→  中的 系数 变化    （同时注意 α的变化）．

　　(2)  中的x系数k变化→直线变化→α变化    （同时注意 α的变化）．

　　教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与 的系数的关系：倾斜角不同，方程中 的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！

【板书】

　　定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作 ，即  ．

　　这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．

　　指出下列直线的倾斜角和斜率：

　　   (2) ＝ tg60°    (3) ＝ tg(-30°)

　　学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)

画图，指出倾斜角和斜率．
　　结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．

　　注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．

　　α＝0°      ß--à    ＝0

　　0°＜α＜90° ß--à    ＞0

　　α＝90°     ß--à   不存在

　　90°＜α＜180°ß--à  ＜0

（四）直线过两点斜率公式的推导

【问题4】

 　　如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义  ＝tgα求出直线的斜率；

　　如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？

　　即已知两点P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)（其中x₁≠x₂），求直线P₁P₂的斜率．

思路分析：

　　首先由学生提出思路，教师启发、引导：

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