概要: ①分析、引导:上述问题是我们早就学过的,用点斜式就可解决.可是,你们是否想过①恰好就是所求的吗?或者说①就是直线 的方程?根据是什么,有证明吗?(通过教师引导,是学生意识到这是以前没有解决的问题,应该证明,证明的依据就是定义中的两条).证明:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解.设 是线段 的垂直平分线上任意一点,则 即 将上式两边平方,整理得 这说明点 的坐标 是方程 的解.(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.设点 的坐标 是方程①的任意一解,则 到 、 的距离分别为 所以 ,即点 在直线 上. 综合(1)、(2),①是所求直线的方程. 至此,证明完毕.回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象:在证明(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解中,设 是线段 的垂直平分线上任意一点,最后得到式子 ,如果去掉脚标,这不就是所求方程 吗?可见,这个证明过程就表明一种求解过程,下面试试看:解法二:设 是线段 的垂直平分线上任意一点,也就是点
数学教案-曲线和方程,标签:高二数学教案大全,http://www.88haoxue.com分析、引导:上述问题是我们早就学过的,用点斜式就可解决.可是,你们是否想过①恰好就是所求的吗?或者说①就是直线 的方程?根据是什么,有证明吗?
(通过教师引导,是学生意识到这是以前没有解决的问题,应该证明,证明的依据就是定义中的两条).
证明:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
设 是线段 的垂直平分线上任意一点,则
即
将上式两边平方,整理得
这说明点 的坐标 是方程 的解.
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
设点 的坐标 是方程①的任意一解,则
到 、 的距离分别为
所以 ,即点 在直线 上.
综合(1)、(2),①是所求直线的方程.
至此,证明完毕.回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象:在证明(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解中,设 是线段 的垂直平分线上任意一点,最后得到式子 ,如果去掉脚标,这不就是所求方程 吗?可见,这个证明过程就表明一种求解过程,下面试试看:
解法二:设 是线段 的垂直平分线上任意一点,也就是点 属于集合
由两点间的距离公式,点所适合的条件可表示为
将上式两边平方,整理得
果然成功,当然也不要忘了证明,即验证两条是否都满足.显然,求解过程就说明第一条是正确的(从这一点看,解法二也比解法一优越一些);至于第二条上边已证.
这样我们就有两种求解方程的方法,而且解法二不借助直线方程的理论,又非常自然,还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想.因此是个好方法.
让我们用这个方法试解如下问题:
例2:点 与两条互相垂直的直线的距离的积是常数 求点 的轨迹方程.
分析:这是一个纯粹的几何问题,连坐标系都没有.所以首先要建立坐标系,显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴,建立直角坐标系.然后仿照例1中的解法进行求解.
求解过程略.
【概括总结】通过学生讨论,师生共同总结:
分析上面两个例题的求解过程,我们总结一下求解曲线方程的大体步骤:
首先应有坐标系;其次设曲线上任意一点;然后写出表示曲线的点集;再代入坐标;最后整理出方程,并证明或修正.说得更准确一点就是:
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对例如 表示曲线上任意一点 的坐标;
(2)写出适合条件 的点 的集合
;
(3)用坐标表示条件 ,列出方程 ;
(4)化方程 为最简形式;
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
一般情况下,求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解;如果求解过程中的转化都是等价的,那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.所以,通常情况下证明可省略,不过特殊情况要说明.
上述五个步骤可简记为:建系设点;写出集合;列方程;化简;修正.
下面再看一个问题:
例3:已知一条曲线在 轴的上方,它上面的每一点到 点的距离减去它到 轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.
【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状,在运动变化的过程中寻找关系.
解:设点 是曲线上任意一点, 轴,垂足是 (如图2),那么点 属于集合
由距离公式,点 适合的条件可表示为
①
将①式 移项后再两边平方,得
化简得
由题意,曲线在 轴的上方,所以 ,虽然原点 的坐标(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线,所以曲线的方程应为 ,它是关于 轴对称的抛物线,但不包括抛物线的顶点,如图2中所示.
【练习巩固】
题目:在正三角形 内有一动点 ,已知 到三个顶点的距离分别为 、 、 ,且有 ,求点 轨迹方程.
分析、略解:首先应建立坐标系,以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴,这条边的垂直平分线为另一个轴,建立直角坐标系比较简单,如图3所示.设
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