高三数学集合与常用逻辑用语测试题

概要：故实数a的取值范围是[－22，22]．答案：[－22，22]15．已知命题p：“对∀x∈R，∃m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是__________．解析：命题p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x－2x＋1＋ m＝0有实数解，即m＝－(4x－2x＋1)．令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－( 2x－1)2＋1，所以当x∈R时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是(－∞，1]．答案：(－∞，1]16．已知集合A＝{x∈R|x2－x≤0}，函数f(x)＝2－x＋a(x∈A)的值域为B.若B⊆A，则实数a的取值范围是__________．解析：A＝{x∈R|x2－x≤0}＝[0 ,1]．∵函数f(x)＝2－x＋a在[0,1]上为减函数，∴函数f(x)＝2－x＋a(x∈A)的值域B＝12＋a，1＋a.∵B⊆A，&th

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故实数a的取值范围是[－22，22]．
答案：[－22，22]
15．已知命题p：“对∀x∈R，∃m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是__________．
解析：命题p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x－2x＋1＋ m＝0有实数解，即m＝－(4x－2x＋1)．令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－( 2x－1)2＋1，所以当x∈R时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
16．已知集合A＝{x∈R|x2－x≤0}，函数f(x)＝2－x＋a(x∈A)的值域为B.若B⊆A，则实数a的取值范围是__________．
解析：A＝{x∈R|x2－x≤0}＝[0 ,1]．
∵函数f(x)＝2－x＋a在[0,1]上为减函数，
∴函数f(x)＝2－x＋a(x∈A)的值域B＝12＋a，1＋a.
∵B⊆A，
∴12＋a≥0，1＋a≤1.解得－12≤a≤0.
故实数a的取值范围是－12，0.
答案：－12，0
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)记函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝3－|x|的定义域为集合B.
(1)求A∩B和A∪B；
(2)若C＝{x|4x＋p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．
解析：(1)依题意，得A＝{x|x2－x－2＞0}＝{x|x＜－1，或x＞2}，
B＝{x|3－|x|≥0}＝{x|－3≤x≤3}，
∴A∩B＝{x|－3≤x＜－1，或2＜x≤3}，
A∪B＝R.
(2)由4x＋p＜0，得x＜－p4，而C⊆A，
∴－p4≤－1.∴p≥4.
18．(12分)已知命题p：关于x的不等式x2－2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立；命题q：函数y＝log(4－2a)x在(0，＋∞)上递减．若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
解析：命题p为真，则有4a2－16＜0，解得－2＜a＜2；
命题q为真，则有0＜4－2a＜1，解得32＜a＜2.
由“p∨q为真，p∧q为假”可知p和q满足：
p真q真、p假q真、p假q假．
而当p真q假时，应有－2＜a＜2，a≥2或，a≤32，即－2＜a≤32，
取其补集得a≤－2，或a＞32，
此即为当“p∨q为真，p∧q为假”时实数a的取值范围，故a∈(－∞，－2]∪32，＋∞
19．(12分)已知命题p：|x－8|＜2，q：x－1x＋1＞0，r：x2－3ax＋2a2＜0(a＞0)．若命题r是命题p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，试求a的取值范围．
解析：命题p即：{x|6＜x＜10}；
命题q即：{x|x＞1}；
命题r即：{x|a＜x＜2a}．
由于r 是p的必要而不充分条件，r是q的充分而不必要条件，结合数轴应有1≤a≤6，2a≥10.解得5≤a≤6，
故a的取值范围是[5,6]．
20．(12分)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}．
(1)当a＝3时，求A∩B，A∪(∁UB)；
(2)若A ∩B＝∅，求实数a的取值范围．
解析：(1)∵a＝3，∴A＝{x|－1≤x≤5}．
由x2－5x＋4≥0，得x≤1，或x≥4，
故B＝{x|x≤1，或x≥4}．
∴A∩B＝{x|－1≤x≤1或4≤x≤5}．
A∪(∁UB)＝{x|－1≤x≤5}∪{x|1＜x＜4}
＝{x|－1≤x≤5}．
(2)∵A＝[2－a,2＋a]，B＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，且A∩B＝∅，
∴2－a＞1，2＋a＜4，解得a＜1.
21．(12分)已知函数f(x)＝2x2－2ax＋b，f(－1)＝－8.对∀x∈R，都有f(x)≥f(－1)成立．记集合A＝{x|f(x)＞0}，B＝{x||x－t|≤1}．
(1)当t＝1时，求(∁RA)∪B；
(2)设命题p：A∩B＝∅，若p为真命题，求实数t 的取值范围．
解析：由题意知(－1，－8)为二次函数的顶点，
∴f(x)＝2(x＋1)2－8＝2(x2＋2x－3)．
由f(x)＞0，即x2＋2x－3＞0得x＜－3，或x＞1，（此括号内不是文章内容，来自www.88haoxue.com，阅读请跳过），
∴A＝{x|x＜－3，或x＞1}．
(1)∵B＝{x||x－1|≤1}＝{x|0≤x≤2}．
∴(∁RA)∪B＝{x|－3≤x≤1}∪{x|0≤x≤2}
＝{x|－3≤x≤2}．
(2)由题意知，B＝{x|t－1≤x≤t＋1}，且A∩B＝∅，
∴t－1≥－3，t＋1≤1⇒t≥－2，t≤0，
∴实数t的取值范围是[－2,0]．
22．(12分)已知全集U＝R，非空集合A＝xx－2x－3a－1＜0，B＝xx－a2－2x－a＜0.
(1)当a＝12时，求(∁UB)∩A；
(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝12时，
A＝x2＜x＜52，
B＝x12＜x＜94.
∁UB＝xx≤12，或x≥94.
(∁UB)∩A＝x94≤x＜52.
(2)若q是p的必要条件，
即p⇒q，可知A⊆B，
由a2＋2＞a，得B＝{x|a＜x＜a2＋2}，
当3a＋1＞2，即a＞13时，A＝{x|2＜x＜3a＋1}，
∴a≤2，a2＋2≥3a＋1，解得13＜a≤3－52；
当3a＋1＝2，即a＝13时，A＝∅，符合题意；
当3a＋1＜2， 即a＜13时，A＝{x|3a＋1＜x＜2}．
∴a≤3a＋1，a2＋2≥2，解得－12≤a＜13；
综上，a∈－12，3－52.

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