任意角三角函数定义的教学认识

概要：www.88haoxue.com 大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点? 在学生得出 时定义式最简单后,白老师引入单位圆,引导学生利用单位圆定义锐角三角函数.至此,学生就有了第四环节中用单位圆定义任意角三角函数的认知准备. 由于"定义"是一种"规定",因此,第四环节中,教师可类比用单位圆定义锐角三角函数情形,直接给出任意角三角函数定义,对学生而言,关键是理解这样"规定"的合理性,对定义合理性认知基础就是三角函数的"函数"本质--定义要符合一般函数的内涵(函数三要素). 3.精心设计问题,让课堂成为学生思维闪光的舞台 基于上述认识,对定义部分的教学,给出如下先行组织者和主干问题设计. 先行组织者1:周期现象是社会生活和科学实践中的基本现象,大到宇宙运动,小到粒子变化,这些现象的共同特点是具有周期性,另外,如潮汐现象、简谐振动、交流电等,也具有周期性,而"三角函数"正是刻画这些变化的基本函数模型. 三角函数到底

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www.88haoxue.com     大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点?
    在学生得出 时定义式最简单后,白老师引入单位圆,引导学生利用单位圆定义锐角三角函数.至此,学生就有了第四环节中用单位圆定义任意角三角函数的认知准备.
    由于"定义"是一种"规定",因此,第四环节中,教师可类比用单位圆定义锐角三角函数情形,直接给出任意角三角函数定义,对学生而言,关键是理解这样"规定"的合理性,对定义合理性认知基础就是三角函数的"函数"本质--定义要符合一般函数的内涵(函数三要素).
    3.精心设计问题,让课堂成为学生思维闪光的舞台
    基于上述认识,对定义部分的教学,给出如下先行组织者和主干问题设计.
    先行组织者1:周期现象是社会生活和科学实践中的基本现象,大到宇宙运动,小到粒子变化,这些现象的共同特点是具有周期性,另外,如潮汐现象、简谐振动、交流电等,也具有周期性,而"三角函数"正是刻画这些变化的基本函数模型.
    三角函数到底是一种怎样的函数?它具有哪些特别的性质?在解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用?本课从研究第一个问题入手. 意图:明确研究方向与内容.
    问题1:在初中,我们已经学习了锐角三角函数,它是怎样定义的?
    意图:从学生已有的数学经验出发,为用坐标定义三角函数作准备.
    问题2:现在,角的概念已经推广到了任意角,上述定义方法能推广到任意角吗?
    意图:引发学生的认知冲突,激发学生求知欲望.
    问题3:如何定义任意角的三角函数?
    意图:引导学生探索任意角三角函数的定义.
    先行组织者2:我们知道,直角坐标系是展示函数规律的载体,是构架"数形结合"的天然桥梁,上堂课我们把任意角放在平面直角坐标系内进行研究,借助坐标系,可以使角的讨论简化,也能有效地表现出角的终边位置"周而复始"的现象.坐标系也为我们从"数"的角度定义任意角三角函数提供有效载体.
    意图:引导学生借助坐标系来定义任意角三角函数.
    问题4:先考虑锐角的情形,如图1,在平面直角坐标系中,你能用点的坐标来表示锐角α的三角函数吗?
    意图:引导学生用坐标表示锐角三角函数.
    问题5:各个比值与角之间有怎样的关系?比值是角的函数吗?
    意图:扣准函数概念的内涵,把三角函数知识纳入函数知识结构,突出变量之间的依赖关系或对应关系,增强函数观念.
    先让学生想象思考,作出主观判断,再用几何画板动画演示,得出结论:三个比值分别是以锐角α为自变量、以比值为函数值的函数.
    问题6:既然可在终边上任取一点,那有没有办法让所得的对应关系变得更简单一点?
    意图:为引入单位圆进行铺垫.
    教师给出单位圆定义之后,可引导学生进一步明确:正弦、余弦、正切都是以锐角α为自变量、以单位圆上点的坐标(或比值)为函数值的函数.
    问题7:类比上述做法,设任意角α的终边与单位圆交点为P(x,y),定义正弦函数为 ,余弦函数为 ,正切函数为 .你认为这样定义符合函数定义要求吗?
    意图:给出任意角三角函数的定义,引导学生用函数三要素说明定义的合理性,明确任意角三角函数的对应法则、定义域、值域.
    引导学生思考定义的合理性,先让学生作出主观判断,再用几何画板动画演示,同时作好解释说明,得出结论:正弦、余弦、正切都是以任意角α为自变量、以单位圆上的坐标或坐标的比值(如果存在的话)为函数值的函数.接着给出任意角三角函数的定义域、值域.

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