角的概念的推广教学设计

概要：教材分析 这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角,使角有正角、负角和零角.首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义,然后又以"动"的观点给出了正、负、零角的概念,最后引入了几个与之相关的概念:象限角、终边相同的角等.在这节课中,重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念,难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来.理解任意角的概念,会在平面内建立适当的坐标系,通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示,是学好这节的关键. 教学目标 1. 通过实例,体会推广角的必要性和实际意义,理解正角、负角和零角的定义. 2. 理解象限角的概念、意义及表示方法,掌握终边相同的角的表示方法. 3. 通过对"由一点出发的两条射线形成的图形"到"射线绕着其端点旋转而形成角"的认识过程,使学生感受"动"与"静"的对立与统一.培养学生用运动变化的观点审视事物,用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系.

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教材分析
    这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角,使角有正角、负角和零角.首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义,然后又以"动"的观点给出了正、负、零角的概念,最后引入了几个与之相关的概念:象限角、终边相同的角等.在这节课中,重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念,难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来.理解任意角的概念,会在平面内建立适当的坐标系,通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示,是学好这节的关键.
    教学目标
    1. 通过实例,体会推广角的必要性和实际意义,理解正角、负角和零角的定义.
    2. 理解象限角的概念、意义及表示方法,掌握终边相同的角的表示方法.
    3. 通过对"由一点出发的两条射线形成的图形"到"射线绕着其端点旋转而形成角"的认识过程,使学生感受"动"与"静"的对立与统一.培养学生用运动变化的观点审视事物,用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系.
    任务分析
    这节课概念很多,应尽可能让学生通过生活中的例子(如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等)了解引入任意角的必要性及实际意义,变抽象为具体.另外,可借助于多媒体进行动态演示,加深学生对知识的理解和掌握.
    教学设计
    一、问题情境
    [演 示]
    1. 观览车的运动.
    2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作.
    3. 钟表秒针的转动.
    4. 自行车轮子的滚动.
    [问 题]
    1. 如果观览车两边各站一人,当观览车转了两周时,他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转,旋转了多大的角?
    2. 在运动员"转体一周半动作"中,运动员是按什么方向旋转的,转了多大角?
    3. 钟表上的秒针(当时间过了1.5min时)是按什么方向转动的,转动了多大角?
    4. 当自行车的轮子转了两周时,自行车轮子上的某一点,转了多大角?
    显然,这些角超出了我们已有的认识范围.本节课将在已掌握的0°~360°角的范围的基础上,把角的概念加以推广,为进一步研究三角函数作好准备.
    二、建立模型
    1. 正角、负角、零角的概念
    在平面内,一条射线绕它的端点旋转有两个方向:顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定,按逆时针旋转而成的角叫作正角;按顺时针方向旋转而成的角叫作负角;当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,叫作零角.
    2. 象限角
    当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与x轴正半轴重合时,角的终边在第几象限,就把这个角叫作第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.
    3. 终边相同的角
    在坐标系中作出390°,-330°角的终边,不难发现,它们都与30°角的终边相同,并且这两个角都可以表示成0°~360°角与k个(k∈Z)周角的和,即
    390°=30°+360°,(k=1);
    -330°=30°-360°,(k=-1).
    设S={β|β=30°+k·360°,k∈Z},则390°,-330°角都是S中的元素,30°角也是S中的元素(此时k=0).容易看出,所有与30°角终边相同的角,连同30°角在内,都是S中的元素;反过来,集合S中的任一元素均与30°角终边相同.一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与α终边相同的角,都可以表求成角α与整数个周角的和.
    三、解释应用
    [例 题]
    1. 在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角.
    (1)-150°.   (2)650°.   (3)-950°5′.
    2. 分别写出与下列角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素写出来.
    (1)60°. (2)-21°. (3)363°14′.
    3. 写出终边在y轴上的角的集合.
    解:在0°~360°范围内,终边在y轴上的角有两个,即90°,270°.因此,与这两个角终边相同的角构成的集合为
    S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}={β|β=90°+2k·180°,k∈Z},而所有与270°角终边相同的角构成的集合为
    S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}=
    {β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}.
    于是,终边在y轴上的角的集合为
    S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.
    注:会正确使用集合的表示方法和符号语言.
    [练 习]
    1. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
    (1)45°. (2)-30°. (3)420°. (4)-225°.
    2. 辨析概念.(分别用集合表示出来)
    (1)第一象限角. (2)锐角. (3)小于90°的角. (4)0°~90°的角.

www.88haoxue.com     3. 一角为30°,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为.

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