圆的方程教学设计

概要： Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件为A=C≠0,B=0且D2+E2-4F>0. 五、解释应用(2) [例 题] 1. 求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标. 分析:确定圆的一般方程,只要确定方程中三个常数D,E,F,为此,用待定系数法. 解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为O,M1,M2在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程,得 于是,得到所求圆的方程:x2+y2-8x+6y=0. 由前面的讨论可知,所求的圆的半径 ,圆心坐标是(4,-3). 思考:本题能否利用圆的标准方程求解?有无其他方法? 2. 已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶.问:一辆宽为2.7m、高为3m的货运车能不能驶入这个隧道? 解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系如图25.2,那么半圆的方程为x2+y2=16,(y&

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    Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件为A=C≠0,B=0且D2+E2-4F>0.
    五、解释应用(2)
    [例 题]
    1. 求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.
    分析:确定圆的一般方程,只要确定方程中三个常数D,E,F,为此,用待定系数法.
    解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
    因为O,M1,M2在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程,得
    于是,得到所求圆的方程:x2+y2-8x+6y=0.
    由前面的讨论可知,所求的圆的半径 ,圆心坐标是(4,-3).
    思考:本题能否利用圆的标准方程求解?有无其他方法?
    2. 已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶.问:一辆宽为2.7m、高为3m的货运车能不能驶入这个隧道?
    解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系如图25.2,那么半圆的方程为x2+y2=16,(y≥0).
    将x=2.7代入,得
    即离中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度.
    因此,货车不能驶入这个隧道.
    思考:假设货车的最大宽度为am,那么货车要驶入该隧道,限高至少为多少米?
    [练 习]
    1. 求经过三点A(-1,5),B(5,5C(6,2)的圆的方程.
    2. 求过两点A(3,1),B(-1,3)且圆心在直线3x-y-2=0上的圆的方程.
    六、拓展延伸
    1. 自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,求切线l的方程.
    思考:(1)当点A的坐标为(2,2)或(1,1)时,讨论该切线l与圆的位置关系分别有什么变化?
    (2)如何判定直线与圆的位置关系的判定方法.
    直线与圆的位置关系的判定常用两种方法:
    几何法和代数法.若直线l的方程为Ax+By+C=0,圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
    ①几何法
    设圆心(a,b)到直线l的距离为d,则
    d>r l与c相离;
    d=r l与c相切;
    d<r l与c相交.
    ②代数法
    Δ>0 方程有两个不同解 方程组有两个不同解 l与C有两个不同交点 相交;Δ=0 相切;Δ<0 相离.
    2. 若圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,求m的取值范围.
    思考:如何判定圆与圆的位置关系.
    圆与圆的位置关系的判定主要就是几何法.
    已知
    ,则
    d>r1+r2 C1与C2外离;
    d=r1+r2 C1与C2相外切;
    d=|r1-r2| C1与C2相内切;
    |r1-r2|<d<r1+r2 C1与C2相交;
    d<|r1-r2| C1与C2内含.
    3. 画出方程:|x|-1= 表示的曲线.
    4. 已知圆C:x2+y2=r2,直线l:ax+by=r2.当点P(a,b)在圆C上、圆C内和圆C外时,分别研究直线l与C具有怎样的位置关系.
    5. 已知:圆满足:①截y轴所得的弦长为2;②被x轴分成两段弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为 .求该圆的方程.
    点 评
    这节课重点研究了圆方程的两种表示形式,突出了利用待定系数法、几何法来确定圆的方程,及利用圆的方程解决简单的实际问题,对圆与直线、圆与圆位置关系稍作涉列.由于初中几何中研究这些知识较多,所以对这些内容的探究放手于学生,对学生能力的培养与锻炼大有好处.此外,例题和练习的选取配置较好,突出了与实际问题的联系,易激发学生的学习兴趣.这篇案例在继承中国传统的"双基"同时,着眼于在体现课程新理念上(尤其是体现新的探究、自主学习理念)有所突破。

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