小学四年级奥数专题讲座09:数字谜（一）

概要：第9讲 数字谜（一）我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要学习一些新的内容。例1 在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立：5+7×8+12÷4-2＝20。分析：等式右边是20，而等式左边算式中的7×8所得的积比20大得多。因此必须设法使这个积缩小一定的倍数，化大为小。从整个算式来看，7×8是4的倍数，12也是4的倍数，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括号，再除以4得17，5＋17-2=20。解：5+（7×8+12）÷4-2=20。例2 把1～9这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）： 分析与解：如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。如果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能：2×3＝6或2×4＝8，所以应当从乘法算式入手。因为在加法算式□+□=□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□-□=可以变形为加法算式□=□+

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第9讲 数字谜（一）

　　我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要学习一些新的内容。 例1 在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立： 　　5+7×8+12÷4-2＝20。 　　分析：等式右边是20，而等式左边算式中的7×8所得的积比20大得多。因此必须设法使这个积缩小一定的倍数，化大为小。 　　从整个算式来看，7×8是4的倍数，12也是4的倍数，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括号，再除以4得17，5＋17-2=20。 解：5+（7×8+12）÷4-2=20。 例2 把1～9这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：   分析与解：如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。如果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能： 　　2×3＝6或2×4＝8， 　　所以应当从乘法算式入手。 　　因为在加法算式□+□=□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□-□=可以变形为加法算式□=□+□，所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。于是可知，原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。 　　若乘法算式是2×4＝8，则剩下的六个数1，3，5，6，7，9的和是奇数，不合题意； 　　若乘法算式是2×3＝6，则剩下的六个数1，4，5，7，8，9可分为两组： 　　4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）； 　　1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。 　　所以答案为 　　 例3 下面的算式是由1～9九个数字组成的，其中“7”已填好，请将其余各数填入□，使得等式成立： 　　□□□÷□□=□-□=□-7。 分析与解：因为左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被减数只能填9，由此知左端被除数的百位数只能填1，故中间减式有8-6，6-4，5-3和4-2四种可能。经逐一验证，8-6，6-4和4-2均无解，只有当中间减式为5-3时有如下两组解： 　　128÷64=5-3=9-7， 　　或 164÷82＝5-3＝9-7。 例4 将1～9九个数字分别填入下面四个算式的九个□中，使得四个等式都成立： 　　□+□=6， □×□=8， 　　□-□=6， □□÷□=8。 分析与解：因为每个□中要填不同的数字，对于加式只有两种填法：1＋5或2＋4；对于乘式也只有两种填法：1×8或2×4。加式与乘式的数字不能相同，搭配后只有两种可能： 　　（1）加式为1＋5，乘式为2×4； 　　（2）加式为2+4，乘式为1×8。 　　对于（1），还剩3，6，7，8，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式无法满足； 　　对于（2），还剩3，5，6，7，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式可填56÷7。答案如下： 　　2＋4＝6， 1×8＝8， 　　9－3＝6， 56÷7＝8。 　　例2～例4都是对题目经过初步分析后，将满足题目条件的所有可能情况全部列举出来，再逐一试算，决定取舍。这种方法叫做枚举法，也叫穷举法或列举法，它适用于只有几种可能情况的题目，如果可能的情况很多，那么就不宜用枚举法。 例5 从1～9这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使得算式的结果尽可能大： 　　[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。 分析与解：为使算式的结果尽可能大，应当使前一个中括号内的结果尽量大，后一个中括号内的结果尽量小。为叙述方便，将原式改写为： 　　[A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。 　　通过分析，A，C，D，H应尽可能大，且A应最大，C，D次之，H再次之；B，E，F，G应尽可能小，且B应最小，E，F次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3，G=4，其中C与D，E与F的值可互换。将它们代入算式，得到 　　[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。   

 练习9 　　1．在下面的算式里填上括号，使等式成立： 　　（1）4×6+24÷6-5=15； 　　（2）4×6+24÷6-5=35； 　　（3）4×6+24÷6-5=48； 　　（4）4×6+24÷6-5＝0。 　　2．加上适当的运算符号和括号，使下式成立： 　　1 2 3 4 5 ＝100。 　　3．把0～9这十个数字填到下面的□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）： 　　□+□=□， 　　□-□=□， 　　□×□=□□。 　　4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符号，使各个等式成立： 　　4□4□4□4＝1， 　　4□4□4□4＝3， 　　4□4□4□4＝5， 　　4□4□4□4＝9。 　　5．将2～7这六个数字分别填入下式的□中，使得等式成立： 　　□+□-□=□×□÷□。 　　6．将1～9分别填入下式的九个□内，使算式取得最大值： 　　□□□×□□□×□□□。 　　7．将1～8分别填入下式的八个□内，使算式取得最小值： 　　□□×□□×□□×□□。