小学四年级奥数专题讲座01:速算与巧算（一）(附答案)

概要： 第1讲 速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求这10名同学的总分。分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×1

 第1讲 速算与巧算（一） 　　计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 　　86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 　　求这10名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下： 　　6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到 　　总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11- 　　＝800＋9＝809。 　　实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下： 　　通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。 　　例1所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。由例1得到： 总和数=基准数×加数的个数+累计差， 平均数=基准数+累计差÷加数的个数。 　　在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。 例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）： 　　462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量。 解：选基准数为450，则 　　累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11 　　＝50， 　　平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）。 　　答：平均每块麦田的产量为455千克。 　　求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）。对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。 例3 求29²和82²的值。 解：29²=29×29 　　＝（29＋1）×（29-1）＋12 　　＝30×28＋1 　　＝840+1 　　＝841。 　　82²＝82×82 　　＝（82－2）×（82＋2）＋2² 　　＝80×84＋4 　　＝6720+4 　　＝6724。 　　由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；给一个82减了2，就要给另一个82加上2。最后，还要加上“移多补少”的数的平方。 　　由凑整补零法计算35²，得 　　35×35＝40×30＋5²=1225。这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。 　　这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。 例4 求993²和2004²的值。 解：993²=993×993 　　＝（993＋7）×（993-7）+7² 　　＝1000×986＋49 　　＝986000＋49 　　＝986049。 　　2004²=2004×2004 　　＝（2004-4）×（2004+4）＋42 　　＝2000×2008＋16 　　＝4016000＋16 　　＝4016016。 　　下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。 　　66×46，73×88，19×44。 　　这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。这类算式有非常简便的速算方法。 例5 88×64＝？ 分析与解：由乘法分配律和结合律，得到 　　88×64 　　＝（80＋8）×（60＋4） 　　＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4 　　＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4 　　＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4 　　＝80×（60＋6＋4）＋8×4 　　＝80×（60＋10）＋8×4 　　＝8×（6＋1）×100+8×4。 　　于是，我们得到下面的速算式： 　　由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×4；积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×（6＋1）。 例6 77×91＝？ 解：由例3的解法得到 　　由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×1＝07。 　　用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。 　　请看下面的算式：

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