立体几何新题型的解题技巧

概要：【命题趋向】 在高考中立体几何命题有如下特点: 1.线面位置关系突出平行和垂直,将侧重于垂直关系. 2.多面体中线面关系论证,空间"角"与"距离"的计算常在解答题中综合出现. 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题,填空题出现. 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点. 此类题目分值一般在17---22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题. 【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.

【命题趋向】
    在高考中立体几何命题有如下特点:
    1.线面位置关系突出平行和垂直,将侧重于垂直关系.
    2.多面体中线面关系论证,空间"角"与"距离"的计算常在解答题中综合出现.
    3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题,填空题出现.
    4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点.
    此类题目分值一般在17---22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题.
    【考点透视】
    (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.
    (B)版.
    ①理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘.
    ②了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算.
    ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.
    ④理解直线的方向向量、平面的法向量,向量在平面内的射影等概念.
    ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.
    ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质,掌握球的表面积、体积公式.
    ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图.
    空间距离和角是高考考查的重点:特别是以两点间距离,点到平面的距离,两异面直线的距离,直线与平面的距离以及两异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角等作为命题的重点内容,高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查,分为多个小问题,也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题,但也可能在最后一问中设置有难度的问题.
    不论是求空间距离还是空间角,都要按照"一作,二证,三算"的步骤来完成,即寓证明于运算之中,正是本专题的一大特色.
    求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。
    【例题解析】
    考点1  点到平面的距离
    求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用.
    典型例题
    例1(2007年福建卷理)如图,正三棱柱 的所有棱长都为 , 为 中点.
    (Ⅰ)求证: 平面 ;
    (Ⅱ)求二面角 的大小;
    (Ⅲ)求点 到平面 的距离.
    考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的
    大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维
    能力和运算能力.
    解答过程:解法一:(Ⅰ)取 中点 ,连结 .
    为正三角形, .
    正三棱柱 中,平面 平面 ,
    平面 .
    连结 ,在正方形 中, 分别为
    的中点,  ,  .
    在正方形 中, ,  平面 .
    (Ⅱ)设 与 交于点 ,在平面 中,作 于 ,连结 ,由(Ⅰ)得 平面 .
    ,  为二面角 的平面角.
    在 中,由等面积法可求得 ,
    又 ,  .
    所以二面角 的大小为 .
    (Ⅲ) 中, , .
    在正三棱柱中, 到平面 的距离为 .
    设点 到平面 的距离为 .
    由 ,得 ,
    .
    点 到平面 的距离为 .
    解法二:(Ⅰ)取 中点 ,连结 .
    为正三角形, .
    在正三棱柱 中,平面 平面 ,
    平面 .
    取 中点 ,以 为原点, , , 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 , , , , ,
    , , .
    , ,
    , .
    平面 .
    (Ⅱ)设平面 的法向量为 .
    , .  , ,
    令 得 为平面 的一个法向量.
    由(Ⅰ)知 平面 ,
    为平面 的法向量.
    , .
    二面角 的大小为 .
    (Ⅲ)由(Ⅱ), 为平面 法向量,
    .
    点 到平面 的距离 .
    小结:本例中(Ⅲ)采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法,把不易直接求的B点到平面 的距离转化为容易求的点K到平面 的距离的计算方法,这是数学解题中常用的方法;解法一采用了等体积法,这种方法可以避免复杂的几何作图,显得更简单些,因此可优先考虑使用这一种方法.