概要: 一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程,以及标准方程的推导.(二)能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识,从而培养学生分析、归纳、推理等能力.(三)学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用,与椭圆进行类比、设想,使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识.二、教材分析1.重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程.(解决办法:通过一个简单实验得出双曲线,再通过设问给出双曲线的定义;对于双曲线的标准方程通过比较加深认识.)2.难点:双曲线的标准方程的推导.(解决办法:引导学生完成,提醒学生与椭圆标准方程的推导类比.)3.疑点:双曲线的方程是二次函数关系吗?(解决办法:教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决,同时让学生在课外去研究在什么附加条件下,双曲线方程可以转化为函数式.)三、活动设计提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结.四、教学过程(一)复习提问1.椭圆的定义是什么?(学生回答,教师板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.教师要强调条件:(1)
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一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握双曲线的定义和标准方程,以及标准方程的推导.
(二)能力训练点
在与椭圆的类比中获得双曲线的知识,从而培养学生分析、归纳、推理等能力.
(三)学科渗透点
本次课注意发挥类比和设想的作用,与椭圆进行类比、设想,使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识.
二、教材分析
1.重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程.
(解决办法:通过一个简单实验得出双曲线,再通过设问给出双曲线的定义;对于双曲线的标准方程通过比较加深认识.)
2.难点:双曲线的标准方程的推导.
(解决办法:引导学生完成,提醒学生与椭圆标准方程的推导类比.)
3.疑点:双曲线的方程是二次函数关系吗?
(解决办法:教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决,同时让学生在课外去研究在什么附加条件下,双曲线方程可以转化为函数式.)
三、活动设计
提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结.
四、教学过程
(一)复习提问
1.椭圆的定义是什么?(学生回答,教师板书)
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.教师要强调条件:(1)平面内;(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数;(3)常数2a>|F1F2|.
2.椭圆的标准方程是什么?(学生口答,教师板书)
(二)双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?它的方程是怎样的呢?
1.简单实验(边演示、边说明)
如图2-23,定点F1、F2是两个按钉,MN是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管,点M移动时,|MF1|-|MF2|是常数,这样就画出曲线的一支;由|MF2|-|MF1|是同一常数,可以画出另一支.
注意:常数要小于|F1F2|,否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线.
2.设问
问题1:定点F1、F2与动点M不在平面上,能否得到双曲线?
请学生回答,不能.强调“在平面内”.
问题2:|MF1|与|MF2|哪个大?
请学生回答,不定:当M在双曲线右支上时,|MF1|>|MF2|;当点M在双曲线左支上时,|MF1|<|MF2|.
问题3:点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|?
请学生回答,不一定,也可以是|MF2|-|MF1|.正确表示为||MF2|-|MF1||.
问题4:这个常数是否会大于等于|F1F2|?
请学生回答,应小于|F1F2|且大于零.当常数=|F1F2|时,轨迹是以F1、F2为端点的两条射线;当常数>|F1F2|时,无轨迹.
3.定义
在上述基础上,引导学生概括双曲线的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距.
教师指出:双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆,不要死记.
(三)双曲线的标准方程
现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问:求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答,主要引起学生思考,随即引导学生给出双曲线的方程的推导.
标准方程的推导:
(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)
建立直角坐标系.
设M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是2c(c>0),那么F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0).又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.
(2)点的集合
由定义可知,双曲线就是集合:
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}.
(3)代数方程
(4)化简方程(由学生演板)
将这个方程移项,两边平方得:
化简得:
两边再平方,整理得:
(c2-a2
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