双曲线及其标准方程2 人教选修1-1

概要：2-a2y2=a2(c2-a2)．(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2．这就是双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．(四)练习与例题1．求满足下列的双曲线的标准方程：焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？由教师讲解：按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．所以动点无轨迹．

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2-a²y²=a²(c²-a²)．

(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)

由双曲线定义，2c＞2a　 即c＞a，所以c²-a²＞0．

设c²-a²=b²(b＞0)，代入上式得：

b²x²-a²y²=a²b²．

这就是双曲线的标准方程．

两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

教师指出：

(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x²项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y²项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．

(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c²=a²+b²，不同于椭圆方程中c²=a²-b²．

(四)练习与例题

1．求满足下列的双曲线的标准方程：

焦点F₁(-3，0)、F₂(3，0)，且2a=4；

3．已知两点F₁(-5，0)、F₂(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？

由教师讲解：

按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b²=c²-a²=52-32=42．

因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．

所以动点无轨迹．

(五)小结

1．定义：平面内与两定点F₁、F₂的距离的差的绝对值等于常数(小于|F₁F₂|)的点的轨迹．

3．图形(见图2-25)：

4．焦点：F₁(-c，0)、F₂(c，0)；F₁(0，-c)、F₂(0，c)．

5．a、b、c的关系：c²=a²+b²；c=a²+b²．

五、布置作业

1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；

3．已知圆锥曲线的方程为mx²+ny²=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标．

作业答案：

2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

六、板书设计

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