平面向量教案

概要：www.88haoxue.com 四、典型例题 例1、如图, , 为单位向量, 与 夹角为1200, 与 的夹角为450,| |=5,用 , 表示 。 分析: 以 , 为邻边, 为对角线构造平行四边形 把向量 在 , 方向上进行分解,如图,设 =λ , =μ ,λ>0,μ>0 则 =λ +μ ∵ | |=| |=1 ∴ λ=| |,μ=| | △ OEC中,∠E=600,∠OCE=750,由 得: ∴ ∴ 说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理 例2、已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量 坐标。 分析: 用解方程组思想 设D(x,y),则 =(x-2,y+1) ∵ =(-6,-3), &

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www.88haoxue.com     四、典型例题
    例1、如图, , 为单位向量, 与 夹角为1200,  与 的夹角为450,| |=5,用 , 表示 。
    分析:
    以 , 为邻边, 为对角线构造平行四边形
    把向量 在 , 方向上进行分解,如图,设 =λ , =μ ,λ>0,μ>0
    则 =λ +μ
    ∵ | |=| |=1
    ∴ λ=| |,μ=| |
    △ OEC中,∠E=600,∠OCE=750,由 得:
    ∴ 
    ∴ 
    说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理
    例2、已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量 坐标。
    分析:
    用解方程组思想
    设D(x,y),则 =(x-2,y+1)
    ∵ =(-6,-3), · =0
    ∴ -6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0      ①
    ∵ =(x-3,y-2), ∥
    ∴ -6(y-2)=-3(x-3),即x-2y+1=0       ②
    由①②得:
    ∴ D(1,1), =(-1,2)
    例3、求与向量 = ,-1)和 =(1, )夹角相等,且模为 的向量 的坐标。  
    分析:
    用解方程组思想
    法一:设 =(x,y),则 · = x-y, · =x+ y
    ∵ < , >=< , >
∴ 
    即            ①
    又| |=
    ∴ x2+y2=2                ②
    由①②得   或 (舍)
    ∴ =
    法二:从分析形的特征着手
    ∵ | |=| |=2
    · =0
    ∴ △AOB为等腰直角三角形,如图
    ∵ | |= ,∠AOC=∠BOC
    ∴ C为AB中点
    ∴ C( )
    说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。
    例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N,使| |∶| |=1∶3,| |∶| |=1∶4,设线段AN与BM交于点P,记 =  , = ,用  , 表示向量 。
    分析:
    ∵ B、P、M共线
    ∴ 记 =s
    ∴    ①
    同理,记
    ∴  =                      ②
    ∵  , 不共线
    ∴ 由①②得 解之得:
    ∴ 
    说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。
    例5、已知长方形ABCD,AB=3,BC=2,E为BC中点,P为AB上一点
    (1) 利用向量知识判定点P在什么位置时,∠PED=450;
    (2) 若∠PED=450,求证:P、D、C、E四点共圆。
    分析:
    利用坐标系可以确定点P位置
    如图,建立平面直角坐标系
    则C(2,0),D(2,3),E(1,0)
    设P(0,y)
    ∴  =(1,3), =(-1,y)
    ∴ 
    · =3y-1
    代入cos450=
    解之得 (舍),或y=2
    ∴ 点P为靠近点A的AB三等分处
    (3) 当∠PED=450时,由(1)知P(0,2)
    ∴  =(2,1), =(-1,2)
    ∴ · =0
    ∴ ∠DPE=900
    又∠DCE=900
    ∴ D、P、E、C四点共圆
    说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。
    同步练习
    (一) 选择题
    1、 平面内三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),若 ∥ ,则x的值为:
    A、 -5             B、-1             C、1                D、5
    2、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C点满足  ,连DC并延长至E,使| |= | |,则点E坐标为:
    A、(-8, )     B、( )     C、(0,1)       D、(0,1)或(2, )
    2、 点(2,-1)沿向量 平移到(-2,1),则点(-2,1)沿 平移到:

www.88haoxue.com     3、 A、(2,-1)     B、(-2,1)       C、(6,-3)        D、(-6,3)

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