平面向量教案

概要：二、复习要求 1、 向量的概念; 2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律; 3、向量运算的运用 三、学习指导 1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。 向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。 2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。 向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。 主要内容列表如下: 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 + = - = 记 =(x1,y1), =(x1,y2) 则 + =(x1+x2,y1+y2) - =(

二、复习要求
    1、 向量的概念;
    2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;
    3、向量运算的运用
    三、学习指导
    1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。
    向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。
    2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。
    向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。
    主要内容列表如下:
    运  算 图形语言 符号语言 坐标语言
    加法与减法 
    + =
    - =
    记 =(x1,y1), =(x1,y2)
    则 + =(x1+x2,y1+y2)
    - =(x2-x1,y2-y1)     + =
    实数与向量
    的乘积 
    =λ
    λ∈R 记 =(x,y)
    则λ =(λx,λy) 两个向量
    的数量积 
    · =| || |
    cos< , >
    记 =(x1,y1),  =(x2,y2)
    则 · =x1x2+y1y2
    3、 运算律
    加法: + = + ,( + )+ = +( + )
    实数与向量的乘积:λ( + )=λ +λ ;(λ+μ) =λ +μ ,λ(μ )=
    (λμ) 
    两个向量的数量积: · = · ;(λ )· = ·(λ )=λ( · ),( + )· = · + ·
    说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如( ± )2=
    4、 重要定理、公式
    (1)平面向量基本定理;如果 + 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量 ,有且只有一对数数λ1,λ2,满足 =λ1 +λ2 ,称λ1 λ+λ2 为 , 的线性组合。
    根据平面向量基本定理,任一向量 与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为 在基底{ , }下的坐标,当取{ , }为单位正交基底{ , }时定义(λ1,λ2)为向量 的平面直角坐标。
    向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则 =(x,y);当向量起点不在原点时,向量 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1)
    (2)两个向量平行的充要条件
    符号语言:若 ∥ , ≠ ,则 =λ
    坐标语言为:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ∥  (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0
    在这里,实数λ是唯一存在的,当 与 同向时,λ>0;当 与 异向时,λ<0。
    |λ|= ,λ的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
    (3)两个向量垂直的充要条件
    符号语言: ⊥   · =0
    坐标语言:设 =(x1,y1),  =(x2,y2),则 ⊥  x1x2+y1y2=0
    (4)线段定比分点公式
    如图,设 
    则定比分点向量式:
    定比分点坐标式:设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)
    则
    特例:当λ=1时,就得到中点公式:
    ,
    实际上,对于起点相同,终点共线三个向量 , , (O与P1P2不共线),总有 =u +v ,u+v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。
    (5)平移公式:
    ① 点平移公式,如果点P(x,y)按 =(h,k)平移至P'(x',y'),则
    分别称(x,y),(x',y')为旧、新坐标, 为平移法则
    在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标
    ②图形平移:设曲线C:y=f(x)按 =(h,k)平移,则平移后曲线C'对应的解析式为y-k=f(x-h)
    当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移
    利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质
    (6)正弦定理,余弦定理
    正弦定理:
    余弦定理:a2=b2+c2-2cbcosA
    b2=c2+a2-2cacosB
    c2=a2+b2-2abcosc
    定理变形:cosA= ,cosB= ,cosC=
    正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。
    5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的"程序性"特点。

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