充要条件（一） 人教选修1-1

概要：q”即如果具备了条件p，就足以保证q成立，所以p是q的充分条件，这点容易理解。但同时说q是p的必要条件是为什么呢？请同学们讨论．（不很理解的较多，特别是q是结论，怎么又变为条件呢？）应注意条件和结论是相对而言的．由“pq”等价命题是“┐q┐p”，即若q不成立，则p就不成立，故q就是p成立的必要条件了．但还必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立．回答上述问题（2）、（3）、（4）中的条件关系．（2）中：“a>b”是“a+c>b+c”的充分条件；“a+c>b+c”是“a>c”的必要条件．（3）中：“x≥0”是“x2≥0”的充分条件；“x2≥0”是“x≥0”的必要条件．（4）中：“两三角形全等”是“两三角形面积

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q”即如果具备了条件p，就足以保证q成立，所以p是q的充分条件，这点容易理解。但同时说q是p的必要条件是为什么呢？请同学们讨论．

（不很理解的较多，特别是q是结论，怎么又变为条件呢？）

应注意条件和结论是相对而言的．由“pq”等价命题是“┐q┐p”，即若q不成立，则p就不成立，故q就是p成立的必要条件了．但还必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立．

回答上述问题（2）、（3）、（4）中的条件关系．

（2）中：“a>b”是“a+c>b+c”的充分条件；“a+c>b+c”是“a>c”的必要条件．

（3）中：“x≥0”是“x²≥0”的充分条件；“x²≥0”是“x≥0”的必要条件．

（4）中：“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件．

“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件．

3.从集合角度理解：

例：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

（1）p：x=y；q：x²=y²;

(2)p:三角形的三条边相等；q:三角形的三个角相等；

（3）p：x=1或x=2,q:x²-3x+2=0；

(4) p：x=2或x=3,q:x-3=  .

答：（1）因x=yx²=y²,即pq.所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．

（2）因三角形的三条边相等T三角形的三个角相等，即pq．

所以p是q的充分条件，q是p的必要条件。

又因：三角形的三个角相等T三角形的三条边相等，即qp．

则q也是p的充分条件，p也是q的必要条件．

（3）因x=1或x=2x²-3x+2=0,即p

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则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

又因-3x+2=0

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